Dyskusja:Ciało (matematyka)

JEDNOŚCI

W artykule jest zapis: "Element 1 nazywa się jedynką lub jednością i jest on elementem neutralnym mnożenia, 0 jest natomiast elementem neutralnym dodawania"

Zazwyczaj jednością nazywamy element odwracalny mnożenia w pierścieniu, dzielnik jedynki

np artykuł "element odwracalny" opisuje:

"Ponieważ nie każdy element ma element do niego odwrotny względem mnożenia, to uzasadnione jest wyróżnianie tych elementów, które mają swoje odwrotności – właśnie one nazywane są elementami odwracalnymi lub dla odróżnienia od ogólnie pojętych elementów odwracalnych jednościami (nie należy mylić z jedynką, która w danym pierścieniu z jedynką jest jedna)"

Pytanie

W artykule podany jest aksjomat:

$\forall _{a\in K}\;\exists _{b\in K}\;a+b=0$

a trochę później "Wprost z definicji wynika, że każde ciało ma co najmniej dwa elementy (zero i jedynkę)" Ciało złożone tylko z zera i jedynki nie będzie przecież spełniało tego aksjomatu, bo dla a = 1 nie będzie istniało w tym ciele takie b, dla którego a + b = 0 89.74.233.236 (dyskusja) 00:14, 23 maj 2010 (CEST)

Owszem, istnieje takie b – jest nim a. Pod kwantyfikatorami nie ma założenia o różności elementów. Tarnoob (dyskusja) 10:47, 20 lut 2023 (CET)

różne

Rozważa się również ciała nieprzemienne. W języku rosyjskim na przykład starannie odróżnia się ciało nieprzemienne (tieło) od przemiennego (polie).

W literaturze polskiej "ciało nieprzemienne" nazywane jest raczej pierścień z dzieleniem, porównaj definicję na angielskiej Wikipedii. Mlepicki Dyskusja 11:46, 8 kwi 2006 (CEST)

jak nazywa się $L/K$, jeżeli $K$ jest rozszerzeniem ciała $L$? konrad ^mów! 12:08, 29 sie 2007 (CEST)

Teraz tu oznaczenie takie, że ciało nie różni się od pierścienia z dzieleniem, o którym też jest artykuł. Trzeba gdzieś coś zmienić. --D.M. from Ukraine (dyskusja) 23:13, 23 kwi 2008 (CEST)

Co masz na myśli? Ciało musi być dodatkowo przemienne, więc się różni od pierścienia z dzieleniem. 212.2.96.100 (dyskusja) 15:19, 24 kwi 2008 (CEST)

W rozdziale "Definicja formalna" napisano: "Ciała, dla których grupa ta jest abelowa, nazywa się ciałami przemiennymi." Chodzi o grupę multyplikatywnę. Tej przemienności nie wymaga się dla ciała dowolnego w tym rozdziale. --D.M. from Ukraine (dyskusja) 22:29, 24 kwi 2008 (CEST)

Kilka uwag

1. Przemienna dziedzina całkowitości (np. pierścień liczb całkowitych $\mathbb {Z}$) nie musi być ciałem.

2. Jak łatwo sprawdzić w podręczniku (np. cytowanym jako literatura do tego hasła) grupa elementów odwracalnych z mnożeniem nazywa się po polsku grupa multyplikatywna.

3. Struktura (czyli krata) podciał ciała jest jednym z podstawowych przedmiotów badań; nie ma to nic wspólnego z brakiem nietrywialnych ideałów. Np. taki fakt:

 jeśli K jest ciałem skończonym mającym  pn elementów, to krata jego podciał jest izomorficzna z kratą dzielników liczby n;

nie jest zupełnie trywialny. Istotą teorii Galois jest wyznaczanie podciał ciała rozkładu wielomianu przez badanie podgrup grupy Galois tego wielomianu.

4. Jeśli $\phi :\mathbb {Z} \rightarrow K$ jest zanurzeniem, to jego obraz $\phi (\mathbb {Z} )$ jest izomorficzny z $\mathbb {Z}$, a nie z $\mathbb {Q}$. Najmniejsze podciało zawierające ten obraz jest izomorficzne z $\mathbb {Q}$. Jest ono pociałem generowanym przez ten obraz, czy generowanym przez 1; innymi słowy podciało generowane przez 1 jest podciałem prostym danego ciała. Tak, podciała są ważne.

5. Na ogół ciała definiuje się tak, żeby były pierścieniami; działania elementu przeciwnego i odwrotnego definiuje się w aksjomatach, a odejmowanie i dzielenie definiuje się poza aksjomatami (po aksjomatach). W definicji w haśle występują dwa działania (- i :) o których aksjomaty (i tekst) nic nie mówią, więc mogą być zupełnie dowolne.

Jeśli definiować ciało z czterema działaniam, to trzeba dopisać jeszcze aksjomaty w rodzaju:

b+x=a wtedy i tylko wtedy, gdy x=a-b

bx=a wtedy i tylko wtedy, gdy x=a:b

Oczywiście zwiększa to liczbę aksjomatów do zapamiętania i mnoży trudności formalne (np. konieczność sprawdzania, że homomorfizm zachowuje odejmowanie i dzielenie). Dlatego też nikt tak ciała nie definiuje.

Marek Szyjewski

z Wikipedia:Zgłoś błąd w artykule

Status:	niezałatwione

Zgłoszenie zostało przeniesione z Wikipedia:Zgłoś błąd w artykule ponieważ prawdopodobnie nie zostało rozwiązane w ciągu 45 dni.

"Ciało nie musi być nawet zbiorem liczbowym: funkcje wymierne o współczynnikach rzeczywistych (z dowolnego ciała) również są ciałem." To zdanie jest problematyczne bo nie definiuje się nigdzie pojęcia zbioru liczbowego. Najlepiej je usunąć i powiedzieć, że innymi przykładami ciał są ciała funkcyjne, jak na przykład, ciało funkcji wymiernych. Zgłasza: 92.22.222.91 (dyskusja) 10:59, 2 wrz 2016 (CEST) 92.22.222.91 (dyskusja) 10:59, 2 wrz 2016 (CEST)

A propos sformułowania "ciało nie musi być nawet zbiorem liczbowym" przypomnę zdanie Hilberta (dotyczące aksjomatyzacji geometrii), że zamiast o punktach, prostych i płaszczyznach można mówić o stołach, krzesłach i kuflach z piwem, jeśli tylko spełniają aksjomaty. Zresztą w haśle w definicji ciała zawiera ono elementy neutralne działań kropka i krzyżyk (nazwanych mnożenie i dodawanie, ale równie dobrze można je nazwać inaczej, np. "kropkowamie" i "krzyżykowanie") oraz literki, o których nigdzie się nie zakłada, że są liczbami.

Już jest chyba naprawione – nie ma sugerowania, że jest coś takiego jak ogólna definicja liczby; po prostu niektóre struktury są do nich zaliczane, a inne nie. --Tarnoob (dyskusja) 10:55, 20 lut 2023 (CET)